已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn，数列{bn}满足b1=，b2=，对任意n∈N*．都有=bn?bn+2．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}

网友回答

解：（Ⅰ）∵nan+1=2Sn，∴（n-1）an=2Sn-1（n≥2），两式相减得，nan+1-（n-1）an=2an，
∴nan+1=（n+1）an=，即，
∴an==n（n≥2），
a1=1满足上式，故数列{an}的通项公式an=n（n∈N*）．
在数列{bn}中，由=bn?bn+2，b1=，b2=，知数列{bn}是等比数列，首项、公比均为，
∴数列{bn}的通项公式bn=；
（Ⅱ）∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=+2×+…+n×?????①
∴Tn=+2×+…+（n-1）×+???????②
由①-②，得Tn=+++…+-=1-，
∴Tn=2-
∴不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）即为λn（2-）+＜2（λn+），
即（1-λ）n2+（1-2λ）n-6＜0恒成立．
设f（n）=（1-λ）n2+（1-2λ）n-6，
当λ=1时，f（n）=-n-6＜0成立，则λ=1满足条件；
当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＞1时，由于＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，则λ＞1满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．
解析分析：（Ⅰ）利用nan+1=2Sn，再写一式，两式相减，再叠乘，即可求数列{an}的通项公式；在数列{bn}中，由=bn?bn+2，b1=，b2=，知数列{bn}是等比数列，首项、公比均为，由此可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和，再将不等式转化为（1-λ）n2+（1-2λ）n-6＜0恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数λ的取值范围．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键．