在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面AD

网友回答

证明：（1）因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．
又侧面CC1B1B⊥平面ABC，所以AD⊥面CC1B1B
又B1F?面CC1B1B，所以AD⊥B1F
在Rt△B1C1F中，tan∠C1B1F=，在Rt△DCF中?tan∠CFD=，
所以∠C1B1F=∠CFD，∠C1FB1+∠CFD=-∠C1B1F+∠CFD=，∠B1FD=π-（∠C1FB1+∠CFD）=
即FD⊥B1F，所以B1F⊥平面ADF；．…（6分）
解：（2）延长FD、B1B交于G，则AG为所求二面角的棱．由Rt△FCD≌Rt△GBD得：CF=GB=2a．
过B1作B1H⊥AG，且B1H与AG交于H，又?B1F⊥平面ADF，FH⊥AG，
∠B1HF为所求二面角的平面角．
由Rt△ABG和Rt△B1HD相似得：B1H=．又B1F==，所以?sin∠B1HF=．
即所求二面角的正弦值是．…（12分）

解析分析：（1）根据已知中D是BC的中点，我们可得AD⊥面CC1B1B，进而AD⊥B1F，FD⊥B1F，结合线面垂直的判定定理即可得到B1F⊥平面ADF；（2）延长FD、B1B交于G，则AG为所求二面角的棱，过B1作B1H⊥AG，且B1H与AG交于H，可得∠B1HF为所求二面角的平面角，解三角形B1HF即可得到平面ADF与平面AA1B1B所成角的正弦值．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是证明出AD⊥B1F，FD⊥B1F，（2）的关键是求出∠B1HF为所求二面角的平面角．