已知正数a，b，c满足a+b+c=1证明??．

网友回答

证明：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，要证 ，
只要证? ?3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0，
只要证? ?2（a3+b3+c3?）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，
只要证???2（a3+b3+c3?）+a2（-b-c）+b2（-a-c）+c2（-a-b）≥0，
只要证? ?a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0，
只要证?? a2?（a-b）+a2（a-c）+b2（b-a）+b2（b-c）+c2（c-a）+c2（c-b）≥0，
只要证?? （a-b）（a2-b2）+（b-c） （b2-c2）+（c-a）（c2-a2）≥0，
只要证?? （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0，
而由题意可知? （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0? 成立，故要证的不等式成立．
解析分析：由已知条件可得，要证原不等式成立，只要证? ?3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0 即可，即?? 2（a3+b3+c3?）+a2（a-1）+b2（b-1）+c2（c-1）≥0，即 ?2（a3+b3+c3?）+a2（-b-c）+b2（-a-c）+c2（-a-b）≥0，即 a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0，即 a2?（a-b）+a2（a-c）+b2（b-a）+b2（b-c）+c2（c-a）+c2（c-b）≥0，故只要证?? （a+b）（a-b）2+（b+c）（b-c）2+（c+a） （c-a）2≥0? ①即可，而①显然成立．

点评：本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找是不等式成立的充分条件．