若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=________．

网友回答

-2x2+4
解析分析：利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（-∞，4]．

解答：由于f（x）的定义域为R，值域为（-∞，4]，可知b≠0，∴f（x）为二次函数，f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2．∵f（x）为偶函数，∴其对称轴为x=0，∴-=0，∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．若a=0，则f（x）=bx2与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，若b=-2，又其最大值为4，∴=4，∴2a2=4，∴f（x）=-2x2+4．故