在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，记bn=an+n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）记，数列{cn}的前n项和为Sn，求证：．

网友回答

证明：（Ⅰ）由题设an+1=2an+n，得an+1+n+2=2（an+n+1），
即bn+1=2bn．?????????????????????????…4分
又b1=a1+1+1=3，所以数列{bn}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，bn=3?2n-1．
于是．????????…8分
所以cn＜．????????????…11分
所以Sn=c1+c2+…+cn=．…14分．
解析分析：（I）要证明数列{bn}是等比数列，只要证明 =q≠0即可．利用已知递推关系可转化为证an+1+n+2=2（an+n+1）即得；（II）由（I）知，bn=3?2n-1．于是从而得出cn＜．利用此式对和式Sn=c1+c2+…+cn进行放缩后求和即得．

点评：本题主要考查了等比数列的前n项和、利用定义证明数列为等比数列，考查了数列的递推公式的应用．