如图，已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点．（Ⅰ）求证：

网友回答

解：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，
∵△BD1D中，OM是中位线，∴OM∥D1D且OM=D1D，
∵矩形AA1D1D中，AF∥D1D且AF=D1D，
∴AF∥OM且AF=OM，可得四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
∵MF?平面ABCD，OA?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD；------（4分）
（Ⅱ）AC⊥平面BDD1B1，证明如下
在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥BB1，
∵BB1、BD是平面BDD1B1内的相交直线
∴AC⊥平面BDD1B1，
∵AC∥MF，∴AC⊥平面BDD1B1，------------（8分）
（Ⅲ）过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵AA1⊥平面ABCD，BH?平面ABCD
∴BH⊥AA1，
∵AD、AA1是平面BDD1B1内的相交直线
∴BH⊥平面BDD1B1，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，
∴BH=ABsin60°=，
因此，三棱锥D1-BDF的体积V=VB-D1DF=S△DD1F?BH=××1×1×=--------（12分）
解析分析：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而MF∥OA，所以MF∥平面ABCD；（II）菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD，由BB1⊥平面ABCD，得AC⊥BB1，所以AC⊥平面BDD1B1，再结合AC∥MF，得AC⊥平面BDD1B1；（III）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面BDD1B1，从而BH是三棱锥B-DD1F的高，算出△DD1F的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥D1-BDF的体积．

点评：本题在特殊四棱柱中，证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．