设函数f（x）=x3+ax2-9x的导函数为f′（x），且f′（2）=15．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

网友回答

解：（Ⅰ）因为f'（x）=3x2+2ax-9，（1分）
所以由f'（2）=15，得a=3，（3分）
则f（x）=x3+3x2-9x，f'（x）=3x2+6x-9．
所以f（0）=0，f'（0）=-9，（4分）
所以函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=-9x．?????????????（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=-3或x=1．????????????????????????????（7分）
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：
x（-∞，-3）-3（-3，1）1（1，+∞）f'（x）+0-0+f（x）↗27↘-5↗（11分）
可知函数f（x）在（-∞，-3）上单调递增，在（-3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以当x=-3时，f（x）有极大值27；当x=1时，f（x）有极小值-5．?????（13分）
解析分析：（Ⅰ）求导数，由f′（2）=15可得a=3，代入可得f（0）=0，f'（0）=-9，由点斜式可得直线的方程；（Ⅱ）令导数为0可得临界点，进而可得函数的单调区间，由极值的定义可得．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线斜率和函数的极值问题，属中档题．