已知函数（其中t为常数且t≠0）．（I）求证：数列为等差数列；（II）求数列{an}的通项公式；（III）设，求数列{bn}的前n项和Sn．

网友回答

解：（I） 证明：（1）∵t2-2tan-1+an-1an=0，∴（t2-tan-1）-（tan-1-an-1an）=0，即 t（t-an-1）=an-1（t-an）．
∵t-an-1≠0，∴=，即==+，
∴-=?（为常数），∴数列为等差数列．
（II）由上可得数列为等差数列．公差为，∴=+（n-1）=．
∴an =+t．
（3）∵bn=n?2nan=（n+1）t2n，
∴sn=t[2×21+3×22+…+（n+1）2n]①．
∴2sn=t[2×22+3×23+…+n 2n+（n+1）2n+1]②．
①-②可得-sn=t[[2×21+22+23+…+2n-（n+1）2n+1]=[2+（ 2n+1-2）-（n+1）2n+1]=-n?2n+1，
∴sn=n 2n+1．
解析分析：（1）由已知中，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，我们易变形为t2-tan-1=tan-1-an-1an，进而得到 -= （为常数），由此得出结论．（2）由（1）中结论，我们结合等差数列的通项公式，及已知中a1=2t，得到数列{an}的通项公式．（3）先求出 bn=n?2nan=（n+1）t2n，再利用错位相减法进行数列求和，从而求得结果．

点评：本题考查的知识点是等差数列关系的确定，数列的求和，其中（1）的关键是根据等差数列的定义，判断出 -= （为常数），（2）的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，（3）的关键是根据数列{bn}的通项公式确定使用错位相减法进行数列求和，属于中档题．