解答题如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三

发布时间:2020-07-09 08:16:49

解答题如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.
(1)求证:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.

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解:(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD…(3分)
又∵△PCD中,E、F分别是PD、PC的中点,
∴EF∥CD,可得EF⊥平面PAD
∵EF?平面EFG,∴平面EFG⊥平面PAD;…(6分)
(2)∵EF∥CD,EF?平面EFG,CD?平面EFG,
∴CD∥平面EFG,
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,
∴VM-EFG=VD-EFG,
取AD的中点H连接GH、EH,则EF∥GH,
∵EF⊥平面PAD,EH?平面PAD,∴EF⊥EH
于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG,
∵平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,△EHD是正三角形
∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,即为,…(10分)
因此,三棱锥M-EFG的体积VM-EFG=VD-EFG=×S△EFG×=.…(12分)解析分析:(1)由线面垂直的性质定理,证出CD⊥平面PAD.在△PCD中根据中位线定理,证出EF∥CD,从而EF⊥平面PAD,结合面面垂直的判定定理,可得平面EFG⊥平面PAD;(2)根据线面平行判定定理,得到CD∥平面EFG,所以CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,得到三棱锥M-EFG的体积等于三棱锥D-EFG的体积.再由面面垂直的性质证出点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,算出△EFG的面积,利用锥体体积公式算出三棱锥D-EFG的体积,即可得到三棱锥M-EFG的体积.点评:本题给出底面为正方形的四棱锥,求三棱锥M-EFG的体积并证明面面垂直,着重考查了锥体体积的求法和空间线面平行、面面垂直等位置关系判定的知识,属于中档题.
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