解答题已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．
（1）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令，试证明：，判断Sn与的大小（不需要证明）
网友回答
解：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，
都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数．（3分）
（2）令f（1）=a，则a＞1，
显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．（5分）
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，（7分）
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（30）=54+3=57．
从而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68．（9分）
（3）解法一：，
，a1=f（3）=6．
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴．（11分）
于是，
显然，（12分）
解法二：裂项求和：
（不需要证明），
从而．
综上所述，．（14分）解析分析：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），由此能够证明函数f（x）为N*上的单调增函数．（2）令f（1）=a，则a＞1，由f（f（1））=3，即得f（a）=3．由f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2，由此能求出f（1）+f（6）+f（30）．（3）法一：，，a1=f（3）=6．即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列．故．由此能够证明，（12分）法二：裂项求和：由，知，由此能够证明．点评：本题考查单调函数的证明，考查函数值的求法，考查不等式的证明．具体涉及到数列的性质和应用、函数与数列的有机结合，解题时要认真审题，注意裂项求和法的灵活运用．