解答题已知数列{an}中，前n项和为Sn，点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设bn=an+1-2an，且a1=1，求证数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与
6n2-3n的大小．
网友回答
解：（I）由已知点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2上．
∴Sn+1=4（an+1）-2．
即Sn+1=4an+2．（n=1，2，3，）
∴Sn+2=4an+1+2．
两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an．
即an+2=4an+1-4an．（3分）
an+2-2an+1=2（an+1-2an）．
∵bn=an+1-2an，（n=1，2，3，）
∴bn+1=2bn．
由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1．
解得a2=5，b1=a2-2a1=3．
∴数列{bn}是首项为3，公式为2的等比数列．（6分）
（II）由（I）知bn=3?2n-1，
∵f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，
∴f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1．
从而f′（1）=b1+2b2+…+nbn
=3+2?3?2+3?3?22+…+n?3?2n-1
=3（1+2?2+3?22+…+n?3?2n-1）（8分）
设Tn=1+2?2+3?22+…+n?2n-1，
2Tn=2+2?22+3?23+…+（n-1）?2n-1+n?2n．
两式相减，得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n?2n
=．
∴Tn=（n-1）?2n+1．
∴f′（1）=3（n-1）?2n+3．（11分）
由于f′（1）-（6n2-3n）=3[（n-1）?2n+1-2n2+n]
=3（n-1）[2n-（2n+1）]．
设g（n）=f′（1）-（6n2-3n）．
当n=1时，g（1）=0，∴f′（1）=6n2-3n；
当n=2时，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n2-3n；
当n≥3时，n-1＞0，又2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2＞2n+1，
∴（n-1）[2n-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，从而f′（1）＞6n2-3n．（14分）解析分析：（I）由点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2上，知Sn+1=4an+2．所以an+2=4an+1-4an．再由bn=an+1-2an，知bn+1=2bn．上此知数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．（II）由bn=3?2n-1，f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，知f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1．从而f′（1）=b1+2b2+…+nbn=3（1+2?2+3?22+…+n?3?2n-1）．Tn=1+2?2+3?22+…+n?2n-1，由错位相减法知Tn=（n-1）?2n+1．f′（1）=3（n-1）?2n+3．由f′（1）-（6n2-3n）=3[（n-1）?2n+1-2n2+n]能推导出f′（1）＞6n2-3n．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意不等式的合理运用．