已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn;
(3)若对任意n∈N*,都有≥5成立,求a1的取值范围.
网友回答
解:(1)若数列{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
由an+1+an=4n-3,得(a1+nd)+[a1+(n-1)d]=4n-3,即2d=4,2a1-d=-3,解得d=2,a1=.
(2)由an+1+an=4n-3(n∈N*),得an+2+an+1=4n+1(n∈N*).
两式相减,得an+2-an=4.
所以数列{a2n-1}是首项为a1,公差为4的等差数列.
数列{a2n}是首项为a2,公差为4的等差数列.
由a2+a1=1,a1=2,得a2=-1.
所以an=(k∈Z).
①当n为奇数时,an=2n,an+1=2n-3.Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an
=1+9+…+(4n-11)+2n=+2n=.
②当n为偶数时,Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)═1+9+…+(4n-7)=.
所以Sn=(k∈Z).
(3)由(2)知,an=(k∈Z).
①当n为奇数时,an=2n-2+a1,an+1=2n-1-a1.
由≥5,得a12-a1≥-4n2+16n-10.
令f(n)=-4n2+16n-10=-4(n-2)2+6.
当n=1或n=3时,f(n)max=2,所以a12-a1≥2.
解得a1≥2或a1≤-1.
②当n为偶数时,an=2n-3-a1,an+1=2n+a1.
由≥5,得a12+3a1≥-4n2+16n-12.
令g(n)=-4n2+16n-12=-4(n-2)2+4.
当n=2时,g(n)max=4,所以a12+3a1≥4.
解得a1≥1或a1≤-4.
综上所述,a1的取值范围是(-∞,-4]∪[2,+∞).
解析分析:(1)由等差数列的定义,若数列{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.结合an+1+an=4n-3,得即可解得首项a1的值;(2)由an+1+an=4n-3(n∈N*),用n+1代n得an+2+an+1=4n+1(n∈N*).两式相减,得an+2-an=4.从而得出数列{a2n-1}是首项为a1,公差为4的等差数列.进一步得到数列{a2n}是首项为a2,公差为4的等差数列.下面对n进行分类讨论:①当n为奇数时,②当n为偶数时,分别求和即可;(3)由(2)知,an=(k∈Z).①当n为奇数时,②当n为偶数时,分别解得a1的取值范围,最后综上所述,即可得到a1的取值范围.
点评:本小题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、不等式的解法、数列与不等式的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.