已知椭圆的焦点F1(1,0),F2(-1,0),过P(0,)作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为,过F1作直线l与椭圆交于A、B两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若

发布时间:2020-08-04 18:47:54

已知椭圆的焦点F1(1,0),F2(-1,0),过P(0,)作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为,过F1作直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若A是椭圆与y轴负半轴的交点,求△PAB的面积;
(3)是否存在实数t使,若存在,求t的值和直线l的方程;若不存在,说明理由.

网友回答

解:(1)设椭圆方程为(a>b>0),
由题意点(,)在椭圆上,a2=b2+1
∴,∴b2=1,a2=b2+1=2
∴椭圆的标准方程为
(2)由题意,A是椭圆与y轴负半轴的交点,∴A(0,-1)
∵F1(1,0),∴过F1,A作直线l的方程为y=x-1,
代入椭圆方程可得3x2-4x=0
∴x=0或
∴A(0,-1),B(,),
∵P(0,)
∴△PAB的面积为=1
(3)当直线斜率不存在时,可得A(1,),B(1,-),
所以,,
由得t=2,直线l的方程为x=1.
当直线斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程为y=k(x-1)
代入椭圆方程可得(+k2)x2-2k2x+k2-1=0
∴x1+x2=
所以,,
由得x1+x2=t,
因为y1+y2=k(x1+x2-2),所以
又=t,∴k=-,t=
此时,直线l的方程为y=-(x-1)

解析分析:(1)设椭圆的标准方程为(a>b>0),根据过P(0,)作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为,可得点(,)在椭圆上,,从而可得椭圆的标准方程;
(2)确定过F1,A作直线l的方程代入椭圆方程,求出A,B的坐标,从而可求△PAB的面积;
(3)当直线斜率不存在时,可得A,B的坐标,从而可得向量PA,PB,PF1的坐标,利用,即可求得直线l的方程;当直线斜率存在时,确定向量PA,PB,PF1的坐标,利用,即可求得直线l的方程.


点评:本题考查椭圆的标准方程,考查三角形面积的计算,考查向量知识的运用,考查分类讨论的数学思想,综合性强.
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