已知2f(-tanx)+f(tanx)=sin2x,求f(x)

网友回答

令x=tanx 则sin2x=2sinx * cosx=2sinx * cosx/((sinx)^2+(cosx)^2)
=2tanx/((tanx)^2+1) 分子分母同除(cosx)^2
所以原式就等于2f(-x)+f(x)=2x/(x^2+1)-----(1)
再令x=-x 所以2f(x)+f(-x)=-2x/(x^2+1)----(2)
联立式子(1)、(2)
可以解得 f(x)=-3x/(x^2+1)
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
令a=tanx
则1/sin2x=1/(2sinxcosx)
=(sin²x+cos²x)/(2sinxcosx)
=1/2[sin²x/(sinxcosx)+cos²(sinxcosx)/(sinxcosx)]
=1/2*(sinx/cosx+cosx/sina)
=1/2*(tanx+1/tanx)
=1/2*(a+1/a)
=(a²+1)/(2a)
所以2f(-a)+f(a)=(a²+1)/(2a)
即2f(-x)+f(x)=(x²+1)/(2x) (1)
令x=-a则a=-x代入2f(-a)+f(a)=(a²+1)/(2a)
2f(x)+f(-x)=(x²+1)/(-2x) (2)
(2)×2-(1)
3f(x)=-(x²+1)/x-(x²+1)/(2x)=-(x²+1)/(2x)
f(x)=-(x²+1)/(6x)
供参考答案2:
将X用-X代替,得到2f(-tan-x)+f(tan-x)=sin(2-x)化简得到2f(tanx)+f(-tanx)=-sin(2x),与上式组成方程组就可以解决了