在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为A.2πB.C.4πD.

网友回答

D

解析分析：过点P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，连接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，从而得到外接球的半径R=OA=1，再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积．

解答：过点P作PH⊥平面ABC于H，则∵AH是PA在平面ABC内的射影∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=，PH=PAsin60°=设三棱锥外接球的球心为O，∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC∵△POA中，OP=OA，∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA==∴三棱锥外接球的半径R=OA=1因此该三棱锥外接球的体积为V=πR3=故选：D

点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两相等，在已知一条侧棱与底面所成角的情况下求外接球的体积，着重考查了直线与平面所成角的定义、球内接多面体和球体积的求法等知识，属于中档题．