已知数列{an}，{bn}满足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1，数列{bn}的前n项和?为Sn，Tn=S2n-Sn．（Ⅰ）求证数列{}是等差数列，并

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解：（1）由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，
得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
整理，得bnbn+1+bn+1-bn=0，
从而有，∵b1=a1-1=2-1=1，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即．（5分）
（2）∵，∴，，，
（∵2n+1＜2n+2）∴Tn+1＞Tn．（12分）
解析分析：（1）将bn=an-1代入2an=1+anan+1，可得bn的递推关系式，整理变形可得 ，由等差数列的定义可得 为等差数列，故可求其通项公式，进而求出bn．（2）结合（1）中的结论，写出Tn+1-Tn的表达式，利用放缩法证明该差大于0即可．

点评：本题考查了数列和不等式的综合应用，应用了构造法、放缩法、叠加法等数学思想方法，难度较大．若根据2an=1+anan+1去求an 的通项，继而求bn，则难度很大．而应用了代入构造，避免了繁琐的中间计算过程．