已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+m?2n（m是与无关的常数且m≠0）．（1）设，证明数列{bn}是等差数列，并求an；（2）若数列{an}是单调递减

网友回答

（本小题满分13分）
解：（1）由题意an+1=2an+m?2n
等式两边同除2n+1，得：，
即：，
而b1=
∴是数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
∴，
因为，所以an=2nbn，
an=2n-1（mn+1-m）．
（2）由（1）得：an=2n-1（mn+1-m），
an+1-an=[m（n+1）+1-m]?2n-（mn+1-m）?2n-1
=2n-1（mn+1+m）
∵数列{an}是单调递减数列，
∴对任意的正整数n，不等式2n-1（mn+1+m）＜0恒成立，
即恒成立．
所以m的取值范围是（-∞，-）．
解析分析：（1）利用an+1=2an+m?2n，两边同除2n，推出bn+1，bn的关系，然后判断数列是否是等差数列．（2）通过（1）求出数列 an，利用数列{an}是单调递减数列，通过an+1-an＜0，求出m的最小值．

点评：本题是中档题，考查数列的判定，数列通项公式的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．