在平面直角坐标系xOy中,方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F,与椭圆相交于A、B两点
(1)若点A在x轴的上方,且,求直线l的方程;
(2)若k=1,P(6,0),求△PAB的面积;
(3)当k(k∈R且k≠0)变化时,试求一点C(x0,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.
网友回答
解:(1)由题意a2=18,b2=9得c=3,∴F(3,0),
∵且点A在x轴的上方,得A(0,3),k=-1,.
直线l:,即直线l的方程为x+y-3=0
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),当k=1时,直线l:y=x-3
将直线与椭圆方程联立,
消去x得,y2+2y-3=0,解得y1=-3,y2=1,
|y1-y2|=4,
∴.
(3)假设存在这样的点C(x0,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0,由题意得,
直线l:y=k(x-3)(k≠0),消去y得,(1+2k2)x2-12k2x+18(k2-1)=0
△>0恒成立,
,
=
∴2kx1x2-k(x0+3)(x1+x2)+6kx0=0,
.
解得x0=6,所以存在一点(6,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.
解析分析:(1)利用椭圆的标准方程和a2=b2+c2,即可得到F及A的坐标,从而得到k的值,即可得到直线l的方程;(2)利用点斜式得到直线l的方程,与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标,利用即可得到面积;(3)利用点斜式得到直线l的方程,与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,表示出直线AC和BC的斜率,令其和为0解出x0即可.
点评:熟练掌握椭圆的标准方程和a2=b2+c2、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键.