定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．
（Ⅲ）记，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞2010的n的最小值．
网友回答
证明：（Ⅰ）由条件得：an+1=2an2+2an，an＞0．
∴2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2，
∴{2an+1}是“平方递推数列”．
由lg（2an+1+1）=2lg（2an+1），
且2an+1＞1，
∴lg（1+2an）＞0，
∴，
∴{lg（2an+1）}为等比数列．…（3分）
解：（Ⅱ）∵lg（2a1+1）=lg5，
∴lg（2an+1）=lg5?2n-1，
∴
∴…（5分）
∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1），
=，
∴…（7分）
（Ⅲ），
∴
=
=．…（10分）
由Sn＞2010，得．
当n≤1005时，；
当n≥1006时，．
因此n的最小值为1006．…（13分）
解析分析：（Ⅰ）由an+1=2an2+2an，an＞0，知2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2，所以{2an+1}是“平方递推数列”．由lg（2an+1+1）=2lg（2an+1），且2an+1＞1，知lg（1+2an）＞0，由此能够证明{lg（2an+1）}为等比数列．（Ⅱ）由lg（2a1+1）=lg5，知lg（2an+1）=lg5?2n-1，所以，由lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=，能求出Tn．（Ⅲ）由，知==由此能求出n的最小值．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查对新定义的理解能力．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．