已知数列{an}满足an＞0且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，a1+a2+…+an．（Ⅰ）求证：对一切n∈N*有-an+1=2Sn；（Ⅱ）求数列

网友回答

（Ⅰ）证明：∵数列{an}满足：an＞0，且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，…①
所以a13+a23+…+an3+an+13=Sn+12，…②
①-②得an+13=Sn+12-Sn2=an+1（Sn+1+Sn），
则an+12=Sn+1+Sn=an+1+2Sn，
所以an+12-an+1=2Sn；
（Ⅱ）解：因为an+12-an+1=2Sn=2Sn+1-2an+1，
所以an+12+an+1=2Sn+1…③
则an2+an=2Sn…④
③-④得2an+1=（an+12-an2）+（an+1-an），
从而an+1-an=1．
又a1=1，所以数列{an}是以首项为a1=1，公差为1的等差数列
所以an=n；
（Ⅲ）证明：∵an=n，∴＜＜
=
∴+++…+＜1+（）+…+（）=2+-＜3．

解析分析：（Ⅰ）由a13+a23+…+an3=Sn2，再写一式，两式相减，化简可得结论；（Ⅱ）由an+12-an+1=2Sn=2Sn+1-2an+1，可得an+12+an+1=2Sn+1，再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为a1=1，公差为1的等差数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅲ）利用放缩法可得＜＜=，再利用叠加法，即可证得结论．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，正确求通项是关键．