对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列{an}的子数列问题，为此，他取了其中第一项a1，第三项a3和第五项a5．
（1）若a1，a3，a5成等比数列，求d的值；
（2）在a1=1，d=3?的无穷等差数列{an}中，是否存在无穷子数列{bn}，使得数列（bn）为等比数列？若存在，请给出数列{bn}的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
（3）他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q（q＞1）的无穷等比数列{cn}，总可以找到一个子数列{bn}，使得{dn}构成等差数列”．于是，他在数列{cn}中任取三项ck，cm，cn（k＜m＜n），由ck+cn与2cm的大小关系去判断该命题是否正确．他将得到什么结论？
网友回答
解：（1）由题意可得a32=a1a5，…..（2分）
即（a1+2d）2=a1（a1+4d），解得d=0．…..（4分）
（2）由题意可得an=1+3（n-1），如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列．…..（7分）
下面证明：因为bn=4n-1=（1+3）n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M，…..（9分）
这里M=+3+…+3n-2为正整数，
所以，bn=1+3M=1+3[（M+1）-1]是{an}中的第M+1项，…．（11分）
（3）该命题为假命题．…．（12分）
由已知可得，，，
因此，又，
故?=aqk-1（1+qn-k-2qm-k），…..（15分）
由于k，m，n是正整数，且n＞m，故n≥m+1，n-k≥m-k+1，
又q是满足q＞1的正整数，则q≥2，
∴1+qn-k-2qm-k≥1+qm-k+1-2qm-k=1+qqm-k-2qm-k≥1+2qm-k-2qm-k=1＞0，
所以，ck+cn＞2cm，从而原命题为假命题．…..（18分）
解析分析：（1）由题意可得（a1+2d）2=a1（a1+4d），解之即可；（2）可举bn=4n-1，然后结合二项式定理证明即可；（3）命题为假命题，由不等式的性质可证ck+cn＞2cm，故不成等差数列．
点评：本题考查合情推理，涉及数列的等差等比的判定，属中档题．