设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足an＞0，2Sn=an2+n（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3；（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明；（3）求证：

网友回答

解：（1）分别令n=1，2，3，得
∵an＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．
（2）由（1）的结论：猜想an=n
1）当n=1时，a1=1成立；
2）假设当n=k时，ak=k．
那么当n=k+1时，
∵2Sk+1=ak+12+k+1，∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，
∴ak+12=2ak+1+2Sk-（k+1）=2ak+1+（k2+k）-（k+1）=2ak+1+（k2-1）?[ak+1-（k+1）][ak+1+（k-1）]=0．
∵ak+1+（k-1）＞0，∴ak+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，
故对于n∈N*，均有an=n．
（3）当n=1，2时，显然成立．
当n≥3时，…=……
=．

解析分析：（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1，a2，a3；（2）猜想：an=n，由2Sn=an2+n可知，当n≥2时，2Sn-1=an-12+（n-1），所以an2=2an+an-12-1再用数学归纳法进行证明；（3）把数列{an}的通项公式代入中，利用放缩法即可证明结论．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要注意各种不同解法的应用，平时做题时多尝试一题多解能够有效地提高解题能力．属中档题．