已知棱长为1的正方体AC1,E,F分别是B1?C1和C1D1的中点(1)求点A1到平面BDFE的距离(2)求直线A1D与平面BDFE所成的角.

发布时间:2020-08-04 14:17:32

已知棱长为1的正方体AC1,E,F分别是B1?C1和C1D1的中点
(1)求点A1到平面BDFE的距离
(2)求直线A1D与平面BDFE所成的角.

网友回答

解:(1)建立空间直角坐标系D-xyz,则B(1,1,0),E(1/2,1,1),F(0,1/2,1),
设=(x,y,z)是平面BDFE的法向量,由⊥,⊥,=(1,1,0),=(0,1/2,1)得:?=x+y=0?=1/2y+z=0
所以:x=-yz=-y/2令y=1,得=(-1,1,1/2),
设点A在平面BDFE上的射影为H,
连接A1D,A1D是平面BDFE的斜线段,
则:cos<,>=,
所以|cos<,>=1所以点A1到平面BEFE的距离为1;
(2)由(1)知∠DA1H=45°,
∠A1DH是直线A1D与平面BDFE所成角,
且∠DA1H+∠A1DH=90°
所以∠A1DH=45°.

解析分析:(1)以D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为X,Y,Z轴的正方向,建立坐标系,求出各顶点的坐标,进而求出平面BDFE的法向量,代入向量点到平面的距离公式,即可得点A1到平面BDFE的距离;(2)由(1)知∠DA1H=45°,从而得出∠A1DH是直线A1D与平面BDFE所成角,结合∠DA1H+∠A1DH=90°即可得出直线A1D与平面BDFE所成的角∠A1DH的大小.

点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,点、线、面的距离的计算,其中根据已知建立空间坐标系,将问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键.
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