解答题设函数．（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：（II）求最小的实数

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解：（1）∵函数，∴f′（x）=3x2-t．
1°若t≤0，则f′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x2≤3，∴f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则，令f′（x）=0，解得，
当时，f′（x）＜0，∴f（x）在上单调递减；
当时，f′（x）＞0，∴f（x）在上单调递增．
（2）?，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+，x∈[0，1]，
而g′（x）=f′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）min=min{g（0），g（1）}=min{，}=0．
当0＜t＜3时，则=-．
∴h（t）=．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）=在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）=，＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，的最小值为，即得h的最小值为-m=．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+=-xt++x3=的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x3-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x3-x在x∈[0，1]时的最小值．
h′（x）=3x2-1，令h′（x）=0，解得．
当时，h′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当时，h′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.的最小值m=-，即得h的最小值为-m=．解析分析：（1）对t分类讨论，利用导数与单调性的关系即可得出；（2）把问题正确等价转化，通过分类讨论，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得出．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数单调性、极值、最值、及把问题正确等价转化是解题的关键．