已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求y=f（x2-2

网友回答

设函数f（x）=ax2+bx+c
∵f（0）=0，所以c=0，
即f（x）=ax2+bx，
f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+2ax+a+bx+b=f（x）+x+1=ax2+bx+x+1，
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1，a+b=1，
解得a=b=12
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
f(x)是二次函数,若f(0)=0,
于是可以设f(x)=ax²+bx
还有f(x+1)=f(x)+x+1
也就是a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+x+1
化简就是(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1
于是各项对应相等，即
2a+b=b+1
a+b=1于是a=1/2,b=1/2
从而f(x）=x²/2+x/2
于是y=f(x^-2)=（x^-2）²/2+x^-2/2=1/2×（1/x^4+1/x²）
因为x≠0于是1/x²>0令1/x²=t
于是y=t²+t,其中t>0显然y>0也就是函数y=f(x^-2)的之值域是y>0供参考答案2:
解由f(0)=0
设y=ax²+bx
则f(x+1)=a（x+1)²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b
而f(x)+x+1=ax²+（b+1）x+1
即2a+b=b+1，a+b=1
即a=1/2,b=1/2
即f（x）=1/2x²+1/2x
令t=x^(-2)，则t＞0
即y=f(x^-2)=f（t）=1/2t²+1/2t=1/2(t+1/2)²-1/8≥-1/8
供参考答案3:
设f(x)=ax²+bx+c，则：
f(0)=c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
因此：ax²+(2a+b)x+a+b+c = ax²+(b+1)x+c+1
因此：2a+b=b+1
a+b+c=c+1
解得：a=1/2b=1/2∴f(x)=(1/2)x²+x/2
f(1/x²)=(1/2)(1/x^4)+1/2x²
=(1/2)(1/x^4 +1/x²+1/4 - 1/4)
=(1/2)(1/x² + 1/2)² - 1/8
因此：f(1/x²) ∈(-1/8，0)U(0，+∞