发布时间：2021-02-18 10:58:54
(Ⅰ)求双曲线的方程；
(Ⅱ)设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，试问：
(1)k为何值时，⊥.
(2)是否存在实数k，m使A、B两点关于直线y=mx对称，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)由题意设双曲线方程为=1,把(1,)代入得=1 (*)
又y2=x的焦点是(,0),故双曲线的c2=a2+b2=与(*)联立,消去b2可得4a4-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.∴a2=,a2=5(不合题意舍去)
于是b2=l,∴双曲线方程为4x2-y2=1
(Ⅱ)由消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0 (*),
当△＞0,即(k≠±2)时,l与C有两个交点A、B
(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),因,故=0
即x1x2+y1y2=0,由(*)知x1+x2=,x1x2=,
代入可得+k2·+k·+1=0化简得k2=2
∴k=,检验符合条件,故当k=±时,
(2)若存在实数k,m满足条件,则必须
由(2),(3)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2 (4)
把x1+x2=代入(4)得mk=4这与(Ⅰ)的mk=-1矛盾,故不存在实数k,m满足条件.