已知点A（-2，0）在椭圆上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点．
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围．
网友回答
答案:解：（1）∵∠AFB=150°，∴∠OFB=30°（O为坐标原点）
在直角△BOF中，|FB|=2|OB|，∴a=2b
∵点A（-2，0）在椭圆上，∴a=2，∴b=1
∴椭圆；
（2）∵直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）不垂直于y轴，∴l：x=ty+m
与椭圆方程联立，消元整理可得（t2+4）y2+2mty+m2-4=0
∴△=4m2t2-4（t2+4）（m2-4）＞0，∴t2＞m2-4
设C（x1，y1），D（x2，y2），∴，
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，则
∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），
∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=
∴或m=-2（舍去）
∴实数m的值为；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，即，∴
∴4m＜t2+4对所有符合条件的t恒成立
由t2＞m2-4知：
①若m2-4＜0，即-2＜m＜2时，t2∈[0，+∞），∴t2+4≥4，∴m＜1，∴-2＜m＜1；
②若m2-4≥0，即m≤-2或m≥2时，t2∈（m2-4，+∞），∴4m＜m2，∴m≤0或m≥4
综上知，实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，1）∪[4，+∞）．
分析：（1）根据∠AFB=150°，可得∠OFB=30°（O为坐标原点），从而可知a=2b，又a=2，故可求椭圆E的方程；
（2）根据直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）不垂直于y轴，假设l：x=ty+m与椭圆方程联立，消元整理可得（t2+4）y2+2mty+m2-4=0，利用△=4m2t2-4（t2+4）（m2-4）＞0，可得t2＞m2-4
（i）若以CD为直径的圆恒过A点，利用，可求实数m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，，结合t2＞m2-4，分类讨论，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．