发布时间:2021-02-18 10:59:06
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,试问:
(1)k为何值时⊥.
(2)是否存在实数k,m使A、B两点关于直线y=mx对称,若存在,求出k,m的值;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)由题意设双曲线方程为=1,把(1,)代入得=1(*)
又y2=2x的焦点是(,0),故双曲线的c2=a2+b2=
与(*)联立,消去b2可得4a4-21a2+5=0,
(4a2-1)(a2-5)=0.
∴a2=,a2=5(不合题意舍去)
于是b2=1,∴双曲线方程为4x2-y2=1
(Ⅱ)由消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0(*),
当△>0,即-2<k<2(k≠±2)时,l与C有两个交点A、B
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),因,故=0即x1x2+y1y2=0,由(*)知x1+x2=,x1x2=,代入可得+1=0
化简得k2=2
∴k=±,检验符合条件,故当k=±时,
(2)法一:若存在实数k,m满足条件,则必须
由(2),(3)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2 (4)
把x1+x2=代入(4)得mk=4
这与(1)的mk=-1矛盾,故不存在实数k,m满足条件.
法二:假设存在实数k、m,则mk=-1
设A、B中点为P(x0,y0)则y0=mx0
由得:
∴k=即mk=4这与mk=-1矛盾
∴不存在实数k、m,满足条件.