已知双曲线C的中心在原点.抛物线y2=2x的焦点是双曲线C的一个焦点.且双曲线过点(1.)

网友回答

解析：（1）由题意设双曲线方程为=1，

把（1，）代入得=1.                                                (*)

又y2=2x的焦点是（，0），故双曲线的c2=a2+b2=与（*）联立，消去b2可得4a2-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.

∴a2=,a2=5（不合题意舍去）

于是b2=1，∴双曲线方程为4x2-y2=1；

（2）由消去y得

（4-k2）x2-2kx-2=0.                                                          （*）

当Δ＞0 即-2＜k＜2(k≠±2)时，

l与C有两个交点A、B,

①设A（x1，y1）,B(x2，y2)，

因⊥，故·=0即x1x2+y1y2=0，

由（*）知x1+x2=,x1x2=，

代入可得+k2·+k·+1=0,

化简得k2=2,∴k=±，检验符合条件，故当k=±时，⊥.

②若存在实数k满足条件，则必须

由(ⅱ)(ⅲ)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2,

把x1+x2=代入(ⅰ)得mk=4这与(ⅰ)的km=-1矛盾，故不存在实数k满足条件.