已知函数f（x）=-3x-x3，x∈R，若时，不等式f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．

网友回答

解析分析：判断f（x）为奇函数，在R上为减函数，原不等式可化为f（cos2θ-3）＜f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答：函数f（x）=-3x-x3，故f（-x）=3x-（-x）3=-f（x），∴f（x）为奇函数，∵f′（x）=-3-3x2＜0，∴f（x）在R上为减函数，所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＜f（2mcosθ-4m），∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即cos2θ-mcosθ+2m-2＞0．令t=cosθ，则原不等式可转化为：当t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立．由t2-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得m＞t-2++4，t∈[-1，1]时，令h（t）=（2-t）+≥2，即当且仅当t=2-时，h（t）min=2，故m＞（t-2++4）max=4-2．故