解答题一动圆与圆O1：（x+2）2+y2=3外切，与圆O2：（x-2）2+y2=27内切．
（I）求动圆圆心M的轨迹方程；
（II）试探究圆心M的轨迹上是否存在点P，使直线与PO1的斜率?=1？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
网友回答
解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．
由题意，得|MO1|=，|MO2|=3-R，（1分）
∴，
由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，（3分）
且a=2，c=2，
∴b2=a2-c2=12-4=8．????????????????（5分）
∴动圆圆心M的轨迹方程为．??????????（6分）
（II）由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，
它的两个焦点坐标分别为O1（-2，0）和O2（2，0），（7分）
设P（x，y）是椭圆上的点，
由，
得，（x≠±2）（9分）
即x2-y2=4（x≠±2），这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，
它与椭圆的交点即为点P．
由于双曲线的两个顶点在椭圆内，
根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点．
即圆心M的轨迹上存在四个点P，
使直线PO1与PO2的斜率=1．（12分）解析分析：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．由题意，得|MO1|=，|MO2|=3-R，由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，由此能求出动圆圆心M的轨迹方程．（II）由动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为O1（-2，0）和O2（2，0），设P（x，y）是椭圆上的点，由，得，（x≠±2），由此能够推导出圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PO1与PO2的斜率=1．点评：本题考查动圆圆心轨迹的求法，探索满足条件的点的存在性．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．