已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
网友回答
解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a1=2满足该式，
∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）
（Ⅱ）∵（n≥1）①
∴②（4分）
②-①得：，
bn+1=2（3n+1+1），
故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）
（Ⅲ）=n（3n+1）=n?3n+n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①-②得：-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1
=
∴，…（10分）
∴数列{cn}的前n项和…（12分）
解析分析：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n?3n+n，所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．