数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-kan（k≠0）对任意n∈N*成立，令bn=an+1-an，且{bn}是等比数列．（1）求实数k的值；???

网友回答

解：（1）∵a1=1，a2=3，a3=9-k，a4=27-6k，
∴b1=2，b2=6-k，b3=18-5k．
∵{bn}成等比数列，∴b22=b1?b3
解得?k=2或k=0（舍）…（4分）
当k=2时，an+2=3an+1-2an
即?an+2-an+1=2（an+1-an），∴
∴k=2时满足条件．…（6分）
（2）bn=2n…（8分）
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n+1（14分）
解析分析：（1）首先根据题干条件a1=1，a2=3，an+2=3an+1-kan求出a3=9-k，a4=27-6k，即可求出b1=2，b2=6-k，b3=18-5k，又知{bn}成等比数列，可得b22=b1?b3，于是可求出k的值．（2）根据（1）的条件求出数列{bn}的通项公式，然后由bn=an+1-an，即可求出数列{an}的通项公式．

点评：本题是中档题，考查数列的应用，数列基本知识的应用，考查转化思想，累加法是数列求和的常用方法，常考题型．