如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中AC=BC=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、AA1的中点．
（1）求证：A1B⊥C1M．
（2）求A1B与CB1所成角的余弦值．
（3）求点M到平面BNC的距离．
网友回答
解：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中△ABC≌△A1B1C1，∴A1C1=B1C1
∵A1M=B1M∴C1M⊥A1B1
又∵在直三棱柱中平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，C1M?平面A1B1C1，平面AA1B1B∩平面A1B1C1=A1B1
∴C1M⊥平面AA1B1B
∴C1M⊥A1B
（2）延长AB至E，使BE=AB，连CE、B1E
∵A1B1BE，∴A1B1EB为平行四边形，∴A1BB1E
∴∠CB1E为A1B与CB1所成角或其补角
在△EBC中CE2=CB2+BE2-2CB?BEcos∠CBE=1+2-2×1××（）=5
在△EB1C中CB1=，B1E=A1B=，cos∠CB1E===
∴A1B与CB1所成角的余弦值为
（3）设点M到平面BNC的距离为h，点C到平面A1B的距离为h1
∵VM-NBC=VC-MNB，∴S△BNC×h=S△BNM×h1
∵CC1∥平面A1B，∴点C到平面A1B的距离h1等于C1M
∴NC×BC×h=[AB×AA1-（A1M×A1N+AN×AB+BB1×B1M）]×C1M
∴××1×h=[×2-（×1+1×+2×）]×
∴点M到平面BNC的距离h=
解析分析：（1）要证C1M⊥A1B，可先证C1M⊥平面AA1B1B，只需利用平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，C1M⊥A1B1从而利用面面垂直的性质可得
（2）利用平行线，可得∠CB1E为A1B与CB1所成角或其补角，解△EB1C，即可求出异面直线A1B与B1 C所成角的余弦值．
（3）设点M到平面BNC的距离为h，点C到平面A1B的距离为h1，利用VM-NBC=VC-MNB，转换底面，即可求解．
点评：本题以直三棱柱为依托，考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握直三棱柱的几何特征，结合已知中其它条件寻找判断线面垂直的相关条件是解答本题的关键．