设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；（2）求f（x）的最小值．

网友回答

解：（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x2+（x-1）|x-1|=2x2+（x-1）2 =3x2-2x+1，
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x1＜x2，由于f（x1）-f（x2）==（x1-x2）[3（x1+x2）-2]，
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∵1＜x1＜x2，∴x1+x2＞2，从而得3（x1+x2）-2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）∵当x≥a时，f（x）=3x2-2ax+a2，
故．
当x≤a时，f（x）=x2+2ax-a2，
．
综上，．

解析分析：（1）当a=1，x＞1时，f（x）=3x2-2x+1，用函数的单调性的定义证明它是增函数．
（2）当x≥a时，根据f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0两种情况，求出f（x）的最小值．当x≤a时，根据f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0两种情况，求出f（x）的最小值，
综合可得结论．


点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的单调性的定义和证明，求函数的最小值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．