已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M

网友回答

解：（1）因为f'（x）=（e-x）'=-e-x，f'（0）=-1，切线的斜率为-e-t，切点（t，e-t）
故切线的方程为y-e-t=-e-t（x-t），即e-tx+y-e-t（t+1）=0，…（1分）
令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e-t（t+1）
所以
从而．
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值为
（2）由①知：f（x）=e-x，∴g（x）=λx+sinx，
∴g'（x）=λ+cosx，
∵函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数
∴g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）max=-λ-sin1，
∵g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，
∴-λ-sin1＜t2+λt+1在λ∈（-∞，-1]上恒成立，
∴（t+1）λ+t2+sin1+1＞0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1（λ≤-1），
则，∴，
而t＜-1时，t2-t+sin1＞0恒成立，
经检验t=-1也对，∴t≤-1
（3）函数h（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）连续，且
令h′（x）=0，可得x=1-m
当x∈（-m，1-m）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＞h（1-m）
当x∈（1-m，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1-m）
根据函数极值判别方法，h（1-m）=1-m为极小值，而且对x∈（-m，+∞）都有h（x）≥h（1-m）=1-m
故当整数m≤1时，h（x）≥1-m≥0
所以当整数m＞1时，h（x）存在最小值h（1-m）=1-m＜0，函数h（x）=x-ln（x+m）在[e-m-m，e2m-m]上为连续减函数．
因为h（e-m-m）=e-m-m-ln（e-m-m+m）=e-m＞0，当整数m＞1时，h（e-m-m）与h（1-m）异号
所以存在唯一的x1∈（e-m-m，1-m），使h（x1）=0
而当整数m＞1时，h（e2m-m）=e2m-3m＞（1+1）2m-3m＞1+2m+-3m＞0与h（1-m）异号
所以存在唯一的x2∈（1-m，e2m-m），使h（x2）=0
故当m＞1时，方程h（x）=0在[e-m-m，e2m-m]内有两个实根???????…（15分）
解析分析：（1）求切线的斜率，确定切线的方程，进而可表示三角形面积S（t），利用导数的方法，可求S（t）的最大值；（2）由于g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，转化为[g（x）]max=g（-1）=-λ-sinl，解出即可；（3）求导数，确定函数的单调性，从而可得函数的极小值，而且对x∈（-m，+∞）都有h（x）≥h（1-m）=1-m，当整数m≤1时，h（x）≥1-m≥0；当整数m＞1时，h（x）存在最小值h（1-m）=1-m＜0，再分别确定端点的函数值为正，即可求得函数零点的个数．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查函数的零点，考查学生的计算能力，综合性强．