已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c
（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an }，且它们的和为2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且，求满足不等式的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{Xn}满足（n∈N+），证明：数列{ }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数．
网友回答
（1）解：{an}是等差数列，∴，即a+b=2．
所以=，
所以c的最小值为；
（2）解：设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a2+（a+d）2=（a+2d）2
∴a=3d．
设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积，则，
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n
=6[-12+22-32+42-…+（2n）2]
=6（1+2+3+4+…+2n）=12n2+6n．
由得，
当n≥5时，＞，
经检验当n=2，3，4时，，当n=1时，．
综上所述，满足不等式的所有n的值为2、3、4．
（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴b2=ac．
由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a2+ac=c2，∴，
又，得，
于是
=．
∴Xn+Xn+1=Xn+2，则有．
故数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．
因为
，
，
?，
由Xn+Xn+1=Xn+2，同理可得，?Xn+2∈N*，
故对于任意的n∈N*都有Xn是正整数．
解析分析：（1）由等差数列的前2013项的和求出a+b的值，利用勾股定理写出c2=a2+b2，然后利用基本不等式求c的最小值；（2）设出三角形三边的公差，由勾股定理求得三边与公差的关系，把面积用公差表示，则Sn可求，把Sn代入T2n=-S1+S2-S3+…+S2n后，先裂项后利用等差数列求和公式求和，得到Tn后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式的所有n的值；（3）由a，b，c成等比数列，结合直角三角形中边的关系求出，代入后整理，进一步得到，由此可证数列{ }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数．
点评：本题以直角三角形边的关系为载体，考查了等差数列的前n项和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂项法求数列的和，训练了利用二项展开式的二项式系数比较不等式的大小，此题综合性强，难度较大．