已知数列{an}的前n项和为Sn，且，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足，Tn为{bn}的前n项和，

网友回答

解：（Ⅰ）∵，其中a1=1，an≠0．
∴，
．
（Ⅱ）由已知可知，故．
∵an+1≠0，∴an+2-an=2（n∈N*）．?????????
于是?数列{a2m-1}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列，∴a2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
数列{a2m}是以a2=2为首项，2为公差的等差数列，∴a2m=2+2（m-1）=2m，
∴an=n（n∈N*）．?????????????????????
（Ⅲ）可知．下面给出证明：
要比较Tn与的大小，只需比较2Tn与log2（2an+1）的大小．
由，得，，
故．????????????
从而?．
=
因此2Tn-log2（2an+1）=-log2（2n+1）
=
=．
设，
则，
故=，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以对于任意?n∈N*都有，
从而2Tn-log2（2an+1）=log2f（n）＞0．
所以．
即??．
解析分析：（I）利用，其中a1=1，an≠0，令n分别取1，2即可得出；（II）由已知可知，可得．由于an+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：an+2-an=2（n∈N*）．?即可得出通项an．（III）???要比较Tn与的大小，只需比较2Tn与log2（2an+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2Tn，令f（n）=2Tn-log2（2an+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．

点评：本题考查了数列的通项an与Sn之间的关系，分类讨论的思想方法，等差数列的通项公式，对数的运算性质，作差法和作商比较两个数的大小等知识与方法，熟练掌握它们是解题的关键．本题需要较强的计算能力和转化能力．