已知数列{an}的前n项和为Sn，，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证

网友回答

（Ⅰ）证明：∵2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*），
∴当n≥2时，2an=2an-1+1，
可得．
∴数列{an}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，公差，
∴（5分）
又3bn-bn-1=n（n≥2），
∴，
∴
=
=
=（8分）
又，
∴对n∈N*，bn-an≠0，得．
∴数列{bn-an}是首项为公比为等比数列．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，
∴．（11分）
∵，
∴，
∴．
∴．（14分）

解析分析：本题考查等差等比数列的证明、an与sn的关系的研究、求通项公式和求前n项和公式，（Ⅰ）根据2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．可以获得使问题得证．（Ⅱ）根据所证，构造数列{bn-an}，通过计算得，又，所以数列{bn-an}为等比数列得证．（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上可以得到数列{bn-an}的通项公式，又根据（Ⅰ）数列{an}的通项公式可求，所以数列{bn}可求，进而可以求得前n项和．

点评：本题综合性强，过程多，运算量大，解题过程需要思路清晰，运算准确，尤其是在（Ⅰ）、（Ⅱ）的证明中，不可忽视n=1的情况，必须将其作为过程中的一部分；在（Ⅲ）的求数列{bn}的前n项和时，尽管数列{bn}的通项公式已求出，可以直接求其和，但需要拆项分组求和，较为繁琐，给出的解法以求出数列{bn-an}、数列{an}的前n项和的基础上再求，显得运算简便，值得借鉴．