如图，已知椭圆（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF2⊥F1F2时，原点O到直线MF1的距离为|OF1|．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过F2作与直线AB垂直的直线，交椭圆于P、Q两点，当三角形PQF1面积为20时，求此时椭圆的方程；
（3）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F1MF2的最大值为．
网友回答
解：（1）设F1（-c，0），F2（c，0），A（a，0），B（0，b）
因为MF2⊥F1F2，所以点M坐标为
所以MF1方程b2x-2acy+b2c=0
O到MF1距离，整理得2b4=a2c2
所以，解得
（2）设直线l方程为，直线与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2），F1到直线PQ的距离为h
解联立方程得5x2-8bx+2b2=0，，
所以
所以b2=25，a2=50
∴椭圆方程为
（3）设MF1=m，MF2=n，m+n=2a
由余弦定理得
因为，
所以cos∠F1MF2≥0
当且仅当
由三角形内角及余弦单调性知有最大值
解析分析：（1）利用MF2⊥F1F2，可求点M坐标，利用原点O到直线MF1的距离为|OF1|，可得几何量之间的关系，从而可求a，b满足的关系式；（2）假设直线l方程与椭圆方程联立，进而可表示出三角形PQF1面积，利用条件可求；（3）在△F1MF2中，利用余弦定理表示出∠F1MF2，利用基本不等式即可求解．
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理解决弦长问题，同时考查了基本不等式的运用．