已知椭圆，（a＞b＞0）的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l′（斜率存在时）与椭圆C交于P、Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．
网友回答
解：（1）以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
由直线与圆相切可知，=b即b=2
∵=
∴a2=3b2
∵a2=b2+c2
∴
∴椭圆C的方程
（2）当直线的斜率k=0时，-2＜t＜2
k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t
联立方程可得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-12=0
则△=36k2t2-4（1+3k2）（3t2-12）＞0，
∴t2＜4+12k2①，且x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2t
取PQ中点H，则由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴k=-1
∴t=1+3k2＞1②
①②联立可得
∴t∈（1，4）
综上，t∈（-2，4）
解析分析：（1）由直线与圆为x2+y2=b2，相切，利用点到直线的距离公式可求b，由及a2=b2+c2可求a，进而可求椭圆C的方程（2）当直线的斜率k=0时，容易求t的范围；而k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t，联立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后结合方程的根与系数关系可求x1+x2，y1+y2=k（x1+x2）+2t，从而可求PQ中点H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率关系可求t，k的方程，联立可求t的范围
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解