已知数列{an}的前n项和．（1）求{an}的通项公式；（2）若对于任意的n∈N*，有k?an≥4n+1成立，求实数k的取值范围．

网友回答

解：（1）∵，n∈N*，
∴，
解得a1=3．
∵，n∈N*，
∴．
两式相减，得an+1=，
∴an+1=3an，
∴{an}是首项为3，公比为3的等比数列，
从而{an}的通项公式是an=3n，n∈N*．
（2）由（1）知，对于任意的n∈N*，有k?an≥4n+1成立，
等价于对任意的n∈N*成立，
等价于，
而==＜1，n∈N+，
∴是单调减数列，
∴，
∴实数k的取值范围是．

解析分析：（1）由，n∈N*，知a1=3，．所以an+1=，即an+1=3an，由此能求出{an}的通项公式．（2）对于任意的n∈N*，有k?an≥4n+1成立，等价于，因为是单调减数列，所以，由此能求出实数k的取值范围．

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．