已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且满足2anSn-an2=1.
(Ⅰ)求a1,a2,a3的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)令Tn=++…+,求证Tn≤.
网友回答
解:(Ⅰ)令n=1则有2a21-a21=1,?a1=1(a1=-1舍去).
令n=2,得2(a1+a2)a2-a22=1,即a22+2a2-1=0.
∴(舍去负值).
同理,令n=3可解得.(3分)
(Ⅱ)∵2snan-an=1,①
又n≥2时有an=sn-sn-1,代入①式并整理得sn2-sn-12=1.
∴sn2是首项为1,公差为1的等差数列.(6分)
∴sn2=1+n-1=n,∴(n≥2),又a1=1
∴.(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知≤1+
=1+1-1+(1)+()+()=2-=
即.(12分)
解析分析:(Ⅰ)令n=1,导出a1=1.令n=2,导出.令n=3可解得.(Ⅱ)由2snan-an=1,an=sn-sn-1,知sn2-sn-12=1,所以s2n=1+n-1=n,.(Ⅲ)≤1+=1+1-1+(1)+()+()=2-=.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.