已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，有2an=Sn+n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（n）=n2?（n∈N*），试比较Sn与f（n）的大小

网友回答

解：（Ⅰ）当n=1时，2a1=a1+1∴a1=1…（1分）
∵2an=Sn+n，n∈N*，∴2an-1=Sn-1+n-1，n≥2，
两式相减得an=2an-1+1，n≥2，即an+1=2（an-1+1），n≥2，
令bn=an+1，则，n≥2且b1=a1+1=2，
所以bn=b1?2n-1=2×2n-1=2n．n∈N*，
∴an=2n-1，n∈N*…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=2n-1，n∈N*，
得Sn=（2+22+23+…+2n）-n
=-n
=2n+1-n-2
当n=1，2时，Sn=f（n）；当n≥3时，Sn＞f（n）…（9分）
只需证2n+1＞n2+n+2，n≥3，
利用＞=．
∴2n+1＞n2+n+2，n≥3．…（13分）
解析分析：（Ⅰ）通过已知条件构造新数列，求出新数列的通项公式，然后求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求出Sn，通过比较n=1，2，比较Sn与f（n）的大小，猜想n≥3时的结果，利用二项式定理证明即可．

点评：本题考查数列通项公式的求法，二项式定理证明不等式的应用，考查计算能力，转化思想；也可用数学归纳法证，也可构造函数s（x）=2x+1，f（x）=x2+x+2，利用导数证明，方法比较多．