设函数f（x）=x3+x，x∈R
（1）用单调性的定义证明f（x）是R上的增函数．
（2）设a，b，c∈R，a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，求证：f（a）+f（b）+f（c）＞0．
网友回答
解：（1）设任意实数x1、x2满足x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x13+x1-（x23+x2）
=（x13-x23）+（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+1）=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22+1]
∵x1＜x2，（x1+x2）2+x22+1≥1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0得f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
∵a+b＞0，得a＞-b，且f（x）是R上的增函数，
∴f（a）＞f（-b），可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0
同理可得f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0
将以上三个不等式相加，可得2[f（a）+f（b）+f（c）]＞0
∴f（a）+f（b）+f（c）＞0，不等式成立
解析分析：（1）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，将f（x1）-f（x2）因式分解，得f（x1）-f（x2）=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22+1]＜0恒成立，因此得到函数f（x）是R上的增函数．（2）利用f（x）的单调性，证出f（a）＞f（-b），结合函数f（x）是奇函数，可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0，同理得到f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0，最后将所得三个不等式相加，即得f（a）+f（b）+f（c）＞0．
点评：本题给出三次多项式函数为奇函数，求证函数的单调性并证明不等式恒成立，主要考查了函数的单调性和奇偶性、不等式的证明等知识，属于中档题．