解答题已知数列{an}满足：a1=1，a2=4，且对任意的n≥3，n∈N*有an-4a

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解：（Ⅰ）∵an-4an-1+4an-2=0，
∴an-2an-1=2（an-1-2an-2）（其中n≥3）；
∴=2，（其中n≥3）；
∴数列{an-2an-1}是首项为（a2-2a1），公比为2的等比数列，
∵a2-2a1=2，∴an-2an-1=2?2n-2=2n-1（其中n≥2）；
∴-=1，∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，故=n，即an=n?2n-1；
（Ⅱ）令n=1，2，3，代入an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn得：
b1=1①，b1C21+b2C22=4②，b1C31+b2C32+b3C33=12③；
由①②③组成方程组，解得：b1=1，b2=2，b3=3；
由此可猜想bn=n，即n?2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，等式左边=1，右边=C11=1，
∴当n=1时，等式成立，
（2）假设当n=k时，等式成立，即k?2k-1=Ck1+2Ck2+…+kCkk
当n=k+1时
（k+1）?2k+1-1=k?2k+2k=2k?2k-1+2k=2（Ck1+2Ck2+…+kCkk）+（Ck0+Ck1+…+Ckk）
=2Ck1+4Ck2+…+2kCkk+Ck0+Ck1+…+Ckk
=（Ck0+Ck1）+2（Ck1+Ck2）+3（Ck2+Ck3）+…+（k+1）Ckk
=Ck+11+2Ck+12+3Ck+13+…+（k+1）Ck+1k+1
∴当n=k+1时，等式成立，
综上所述，存在等差数列bn=n，使得对任意的n∈N*有an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn成立．解析分析：（Ⅰ）由an-4an-1+4an-2=0，得an-2an-1=2（an-1-2an-2）（其中n≥3）；即=2，得数列{an-2an-1}是等比数列；首项a2-2a1=2，则通项an-2an-1=2?2n-2=2n-1（其中n≥2）；从而得数列an的通项公式；（Ⅱ）当n=1，2，3时，由an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn得：b1=1①，b1C21+b2C22=4②，b1C31+b2C32+b3C33=12③；由①②③组成方程组，得b1，b2，b3；由此猜想bn的通项公式，即n?2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn；用数学归纳法证明即可．点评：本题综合考查了数列与递推公式的应用，组合数公式与数学归纳法的应用；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．