已知函数f（x）=x-，x∈[0，+∞），数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n=1，2，3…）（I）设f′（x）=，求g（x）在[0，+∞）上的最小值；

网友回答

（I）解：∵f′（x）=，f′（x）=，
∴g（x）=（1+x）2-1+ln（1+x）???
∴g′（x）=2（1+x）+
当x≥0时，g′（x）＞0，∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即g（x）的最小值为0；???
（II）证明：①当n=1时，a2=f（a1）=＜a1=1，
又g（x）≥0，则f′（x）=≥0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，即f（x）≥f（0）=0
则a2=f（a1）＞f（0）=0，所以0＜a2＜a1≤1；
②假设当n=k时，结论成立，即0＜ak+1＜ak≤1，则
当n=k+1时，ak+2=f（ak+1）=＜ak+1≤1
∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴ak+2=f（ak+1）＞f（0）=0
∴0＜ak+2＜ak+1≤1，
∴当n=k+1时，结论也成立．
由①②知，0＜an+1＜an≤1；
（III）证明：由（II）0＜an+1＜an≤1得＞，即
故?
则Tn=++…+
＜++…+=＜=a1=1
所以Tn＜1成立．
解析分析：（I）求导函数，求得g（x）在[0，+∞）上为增函数，即可求g（x）在[0，+∞）上的最小值；（II）利用数学归纳法证明，证题中注意f（x）在[0，+∞）上为增函数，及掌握数学归纳法的证题步骤；（III）证明，结合等比数列的求和公式，即可得到结论．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．