直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分△POB的面积，∠AOB=α弧度，给出下列关系式：（1）tanα=2α（2）t

网友回答

D
解析分析：（1）根据题意设出扇形的半径，表示出扇形的面积，再计算出直角三角形的面积，结合条件可得tanα=2α．（2）（3）（5）分别对结论进行化简，再结合（1）的正确结论进而证明此结论正确．（4）假设此结论正确，再结合（1）得到矛盾，进而证明sinα=2cosα错误．

解答：（1）设扇形的半径为r，由扇形的面积公式可得：扇形的面积为 ?α?r2，在Rt△POB中，PB=rtanα，所以△POB的面积为 r×rtanα，由题意得：r×rtanα=2×?α?r2，即tanα=2α．所以（1）正确．（2）由题意可得：tanα＞2sinα整理可得cosα，因为S△OAB＜S扇形=，所以OAOP，即OBOP，所以cosα=，即tanα＞2sinα．所以（2）正确．（3）由题意可得：tanα＞sin2α化简整理可得cos2α，由（2）可得cosα，所以cos2α一定成立，所以（3）正确．（4）若sinα=2cosα则tanα=2，所以由（1）可得α=1，即得到tanα=2，与tan1≠2矛盾，所以sinα=2cosα错误．所以（4）错误．（5）由sin2α=2α（1+cos2α）结合二倍角公式化简可得：，所以由（1）可得sin2α=2α（1+cos2α）正确．所以（5）正确．故选D．

点评：本题考查扇形的面积公式，以及二倍角公式、余弦函数性质等知识点，此题综合性较强，属于中档题．