解答题设函数x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f

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解：（1）当，
故f'（1）=-1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（2分）

（2）f'（x）=-x2+2x+m2-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1-m），且f（1-m）=，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．（6分）

（3）由题设，，
∴方程有两个相异的实根x1，x2，
故，∵m＞0
解得m，（8分）
∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，
故x2＞．（10分）
∵对任意的x∈[x1，x2]，x-x1≥0，x-x2≤0，
则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2-＜0，
解得，
∵由上m，
综上，m的取值范围是（，）．（14分）解析分析：（1），易得函数在所求点的斜率．（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．点评：本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．