如图，正方形ABCD和直角梯形ABMN所在平面相互垂直，AN∥BM，∠ABM=90°，AN=AD=为MC中点．（1）证明NP∥面ABCD；（II）证明：MN⊥NC；（

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解：（I）证明：取BC中点Q，P是MC的中点，连接PQ，AQ．
所以PQ∥BM，AN∥BM，且PQ=AN．
所以四边形ANPQ为平行四边形．
所以NP∥AQ．??????????????????????????????（4分）
又因为AQ?平面ABCD，且NP?平面ABCD，
所以NP∥平面ABCD．??????????????????????????（4分）
（II）证明：在正方形BCD中，CB⊥AB．
又因为平面ABMN⊥平面ABCD，所以CB⊥平面ABMN．
所以CB⊥MN．????????????????（6分）
在直角梯形ABMN中，AN=AB=1，可得NB=MN=AB，
所以BN2+MN2=MB2．
所以MN⊥NB．
所以MN⊥平面BNC，
所以MN⊥NC．?????????????????（8分）
（III）取MB的中点，连接PE，则PE∥BC，又BC∥AD，AD⊥面ABMN，
所以BC⊥面ABMN，∴PE⊥面ABMN，
∴PE即为三棱锥M-PBN的高，且PE=BC=?
∴VM-BPN=S△BPN?PE=×=?（12分）
解析分析：（I）取BC中点Q，连接PQ，AQ，证明NP∥AQ．说明AQ?平面ABCD，且NP?平面ABCD，即可证明NP∥平面ABCD；（II）先证明CB⊥MN，由勾股定理得出MN⊥NB，即可证明MN⊥平面BNC，从而有MN⊥NC；（III）取MB的中点，连接PE，先证得PE即为三棱锥M-PBN的高，再求出底面的面积、高，即可求三棱锥的体积．

点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行与垂直的证明方法，几何体的体积的解法，考查空间想象能力、计算能力，注意转化思想的应用，判定定理的正确应用．